空间域(spatial domain)
空间域，或称图像空间，是以图像左上为原点，横为y竖为x的二维平面。
变换域
在有些情况下，通过变换输入图像来表达处理任务，在变换域执行处理任务，然后再反变换到空间域会更好，比如使用傅里叶变换将图像转换到频率域进行滤波，再转换回空间域得到滤波后的图像。
二维线性变换的通用形式可表示为：
T(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)r(x,y,u,v) T(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)r(x, y, u, v) T(u,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)r(x,y,u,v)
其中，f(x,y)f(x, y)f(x,y)是输入图像，r(x,y,u,v)r(x,y,u,v)r(x,y,u,v)称为正变换核，T(u,v)T(u, v)T(u,v)称为f(x,y)f(x, y)f(x,y)的正变换。
给定T(u,v)T(u, v)T(u,v)后，可以用T(u,v)T(u, v)T(u,v)的反变换还原f(x,y)f(x, y)f(x,y):
f(x,y)=∑u=0M−1∑v=0N−1T(u,v)s(x,y,u,v) f(x, y) = \sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}T(u, v)s(x, y, u, v) f(x,y)=u=0∑M−1v=0∑N−1T(u,v)s(x,y,u,v)
s(x,y,u,v)s(x, y, u, v)s(x,y,u,v)称为反变换核。两个式子一起称为变换对。
如果
r(x,y,u,v)=r1(x,u)r2(y,v) r(x, y, u, v) = r_1(x, u)r_2(y, v) r(x,y,u,v)=r1(x,u)r2(y,v)
那么正向变换核是可分的。如果 r1(x,u)r_1(x, u)r1(x,u)的作用等于 r2(y,v)r_2(y, v)r2(y,v)，则称变换核是对称的。从而有
r(x,y,u,v)=r1(x,u)r1(y,v) r(x, y, u, v) = r_1(x, u)r_1(y, v) r(x,y,u,v)=r1(x,u)r1(y,v)
如果sss同样适用，则同样适用于反变换核。
傅里叶变换
傅里叶变换在图像处理中是一种很常用的变换方法，可以使图像从空间域转换到频率域从而进行一些图像处理操作。
二维离散傅里叶变换的变换核为
r(x,y,u,v)=e−j2π(uxM+vyN) r(x, y, u, v) = e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})}r(x,y,u,v)=e−j2π(Mux+Nvy)
s(x,y,u,v)=1MNej2π(uxM+vyN) s(x, y, u, v) = \frac{1}{MN}e^{j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})}s(x,y,u,v)=MN1ej2π(Mux+Nvy)
带入通用变换式中，可得离散傅里叶变换对
T(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(uxM+vyN) T(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y) e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})}T(u,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(Mux+Nvy)
f(x,y)=1MN∑u=0M−1∑v=0N−1T(u,v)ej2π(uxM+vyN) f(x, y) = \frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}T(u, v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} f(x,y)=MN1u=0∑M−1v=0∑N−1T(u,v)ej2π(Mux+Nvy)
傅里叶核是对称且可分的(证明见附)，并且可分和对称的傅里叶核允许用一维傅里叶变换计算二维傅里叶变换(证明见附)。
附
证明:傅里叶核的对称性和可分性
根据同底幂的乘法运算am∗an=am+na^m*a^n = a^{m+n}am∗an=am+n，可得
r(x,y,u,v)=e−j2π(uxM+vyN)=e−j2πuxMe−j2πvyN=r1(x,u)r2(y,v) r(x, y, u, v) = e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} = e^{-j2\pi\frac{ux}{M}}e^{-j2\pi\frac{vy}{N}} = r_1(x, u)r_2(y, v) r(x,y,u,v)=e−j2π(Mux+Nvy)=e−j2πMuxe−j2πNvy=r1(x,u)r2(y,v)
可分性证毕。
由上式可得
r1(x,u)r2(y,v)=e−j2πuxMe−j2πvyN=r1(x,u)r1(y,v) r_1(x, u)r_2(y, v) = e^{-j2\pi\frac{ux}{M}}e^{-j2\pi\frac{vy}{N}} = r_1(x, u)r_1(y, v) r1(x,u)r2(y,v)=e−j2πMuxe−j2πNvy=r1(x,u)r1(y,v)
r1r_1r1和r2r_2r2是等价运算。对称性证毕。
证明:可分和对称的傅里叶核允许用一维傅里叶变换计算二维傅里叶变换
T(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(uxM+vyN)=∑x=0M−1e−j2πxuM∑y=0N−1f(x,y)e−j2πyvN=∑x=0M−1T(x,v)e−j2πxuMT(x,v)=∑y=0N−1f(x,y)e−j2πyvN
\begin{align}
T(u, v) & = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y) e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})}\\
& = \sum_{x=0}^{M-1}e^{-j2{\pi}\frac{xu}{M}}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-j2{\pi}\frac{yv}{N}}\\
& = \sum_{x=0}^{M-1}T(x, v)e^{-j2{\pi}\frac{xu}{M}}\\
T(x, v) & = \sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-j2{\pi}\frac{yv}{N}}
\end{align}
T(u,v)T(x,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(Mux+Nvy)=x=0∑M−1e−j2πMxuy=0∑N−1f(x,y)e−j2πNyv=x=0∑M−1T(x,v)e−j2πMxu=y=0∑N−1f(x,y)e−j2πNyv
注
一维连续傅里叶公式：
F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt
根据欧拉公式
e−jθ=cos(θ)−jsin(θ) e^{-j\theta} = cos(\theta) - jsin(\theta)e−jθ=cos(θ)−jsin(θ)
一维傅里叶公式等价于
F(ω)=∫−∞∞f(t)[cos(ωt)−jsin(ωt)]dt F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)[\cos(\omega t) - j\sin(\omega t)]dtF(ω)=∫−∞∞f(t)[cos(ωt)−jsin(ωt)]dt一维离散傅里叶公式：
F(ω)=∑n=0N−1f(n)e−jωnN F(\omega) = \sum_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-\frac{j\omega n}{N}} F(ω)=n=0∑N−1f(n)e−Njωn